Bu yazıda anlamlarından biri çelişki olan paradoks hakkında bir şeyler yazmak istiyorum. Çelişkiler genelde, kendilerini mantık alanında sonuçsuz bırakan önermelerdir. Bunların en ünlüsü “Bu cümle yanlıştır” önermesidir.

Bu cümlenin yanlış olduğunu söylersek önerme doğru olacağı için cümle yanlış olamaz, bu önermenin doğru olduğunu söylersek cümle yanlış olduğunu bildirdiği için yine çıkmaza gireriz. Burada ki temel sebep önermenin sonucunun kendisine dönmesidir, tıpkı bir aynanın kendisini göstermeye çalışması gibi, işler çıkmaza girer. Yazılım alanında da kısır döngüler ile bu ve benzeri şeylerle karşılaşırız, bu önerme ise yazılımda kısır döngüye girmiş bir recursion (yinelenen) fonksiyona benzemektedir.

Yine çok benzer olan Giritli Epimenides’in “Bütün Giritlilier yalancıdır.” önermesidir, kendisi de Giritli olduğu için aynı paradoks yine yaşanır.

Peki Matematikçiler Bu işi Nasıl Çözdü ?

Mantık matematiğin bir alanı olduğu için, matematikçilerin bu duruma bir çözüm bulması gerekti. Önermelerde, önerme doğru ise sonuç 1, önerme yanlış ise sonuç 0 dır. Bu önermeye (ilk halini belirtmek için) Pe dediler önermenin sonucuna da (son halini belirtmek için) Py dediler. Bu durumda Py = 1 - Pe denklemine ulaşıldı.

Burada P ye 1 veya 0 vermek denklemi çözmez, ancak P=1/2 denklemi çözer, sonuç olarak 1/2=1-1/2 sonucu doğrudur, bu da “Bu cümle yanlıştır” önermesinin, ne doğru ne de yanlış olduğu veya hem doğru hem yanlış olduğu anlamına geliyor. Dolayısıyla böyle bir önermeyi matematikçiler kabul etmiyorlar, yine de bu olaya puslu mantık tabirini vermişler.

Mantıken tüm sonuçlar sebeplere bağlıdır, paradokslarda ise sonuçlar sonuçlara bağlıdır, gibi bir durum oluyor, yani cümlenin yanlış olma sonucu önermenin doğru olma sonucuna bağlı oluyor. Bu durumda paradoks ikilemi yaşanıyor, zaten üstteki denklem de bunu kanıtlıyor.

İleri okumalar için
http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/makaleler/202_214_paradoks.pdf